Kryptografie

Ve čtvrtek 23. 3. 2017 přišla v rámci Aplikované matematiky přednášet žákům tříd 13L a 13M SPŠST Panská RNDr. Zdeňka Koupilová, Ph.D. z KDF MFF UK Praha. V úvodu semináře začala nenápadně zjišťovat, co si žáci pamatují z kvantové fyziky, jakou mají základní představu o jevech, které tato část fyziky studuje. Žáci byli zpočátku v odpovědích nesmělí, ale postupně začali spolupracovat více.

Ve čtvrtek 23. 3. 2017 přišla v rámci Aplikované matematiky přednášet žákům tříd 13L a 13M SPŠST Panská RNDr. Zdeňka Koupilová, PhD. z Katedry didaktiky fyziky MFF UK Praha. V úvodu semináře začala nenápadně zjišťovat, co si žáci pamatují z kvantové fyziky, jakou mají základní představu o jevech, které tato část fyziky studuje. Žáci byli zpočátku v odpovědích nesmělí, ale postupně začali spolupracovat více.

„Slyšeli jste někdy slovo spin?“ zeptala se Zdeňka následně. Třída souhlasným pokýváním sdělila, že to slovo zná.

„Prima, a co to znamená?“ pokračovala Zdeňka svými dotazy. Postupnými kroky, včetně vzpomínky na první ročník a zapisování šipek do tabulek v chemii, společně se žáky dospěla k tomu, na elektron lze pohlížet jako na malý magnet, jehož magnetický moment popisuje právě spin.

Následující diskuse vedla k odlišení chápání různé orientace magnetického momentu v klasické a v kvantové fyzice. Podstatné bylo si uvědomit, že průmět spinu do dané osy může u dané částice nabývat pouze dvou hodnot a žádných mezistavů. Problematika kvantování pak stála u zrodu kvantové fyziky a kvantově-mechanického modelu atomu, který poprvé teoreticky popsal v roce 1913 dánský fyzik Niels Bohr (1885 - 1962). O důkaz platnosti se pokusili v roce 1922 němečtí fyzikové Otto Stern (1888 - 1969) a Walther Gerlach (1889 - 1979).

Zdeňka nejdříve nechala za pomocí návodných otázek vysvětlit žáky, jak bude interagovat s vnějším magnetickým polem magnet. Pak od magnetu přešla k částicím, které budou prolétávat nehomogenním magnetickým polem. A podala vysvětlení toho, co pánové Stern a Gerlach naměřili. Přidala i historku, která se o objevu traduje: o důležité roli levných doutníků, které oba pánové kouřili. Díky zbytkům síry v dechu totiž pak dokázali snadno vizualizovat stříbrné atomy, s nimiž experiment prováděli, zachycené na sklíčku aparatury.

Pak spustila aplet a pomocí něj žákům (opět s jejich spoluprací) vysvětlila další zákonitosti kvantové fyziky. Zejména fakt, že jakmile s nějakým elektronem či jiným objektem mikrosvěta provedeme měření, vlastnosti daného objektu definitivně ztrácíme, ničíme. Druhým důležitým faktem bylo, že kvantová fyzika obvykle nedokáže říct, co přesně naměříme, ale je schopna říci, jaké hodnoty můžeme naměřit a uvést pravděpodobnosti jejich naměření. Tento způsob prezentace výsledků po velkou část svého života kritizovat německý fyzik Albert Einstein (1879 - 1955).

Na základě informací, které si žáci částečně zopakovali a částečně nově získali při práci s apletem, se pustila Zdeňka do druhé části semináře - do základů šifrovacích technik.

Pomocí připravené šifry a klíče určeného pro přenos zpráv předvedla Zdeňka, jak postupovat v případě, že klíč k šifrování bude veřejně známý.

„No jo, ale to nechceme,“ zarazila se. „My chceme posílat tajné zprávy, aniž bychom se předtím s tím druhým člověkem sešli a domluvili se na klíči. A ukazuje se, že s využitím kvantové fyziky je možné tento přenos realizovat - tedy i když se budeme na všem domlouvat veřejně, tak na konci domluvy budeme mít oba stejný, pro ostatní neznámý, klíč použitelný k šifrování. A dokonce je možné poznat, jestli nás někdo při vysílání informace odposlouchává.“

Žáci poslouchali a Zdeňka začala psát na tabuli.

„Standardně se ve všech kryptografických materiálech mluví o přenosu zpráv mezi Alicí a Bobem,“ vysvětlila obě jména napsaná na tabuli. „Dále budeme potřebovat propletené elektrony, které mají každý vždy opačný spin do libovolné zvolené osy. To lze fyzikálně zařídit.“

Když zodpověděla krátký dotaz, obrátila se na žáky: „Potřebuju Alici, Boba a dva elektrony!“

Žáci chvíli váhali, ale nakonec se dobrovolníci našli. Zdeňka vysvětlila, co se po nich bude chtít: Alice vyšle elektron a rozhodne se (hodem kostkou, na které padá každá orientace s pravděpodobností 50 %), který průmět bude měřit - zda horizontální či vertikální. Vyslaný elektron rozhodne se stejnou pravděpodobností, zda bude mít spin kladný nebo záporný. Bob rozhodne, s jakou orientací spinu bude elektron přijímat. Když bude orientace stejná, jakou měla při vysílání Alice, elektron bude přijat s opačným znaménkem spinu, než s jakým vyslala elektron Alice. Pokud bude orientace spinu příjmu Boba jiná, než jakou orientaci měl spin elektronu Alice, bude mít elektron Bobem přijatý s pravděpodobností 50 % kladný a s pravděpodobností 50 % záporný průmět (elektron o tom opět rozhodne hodem kostkou).

„Jasné?“ zeptala se Zdeňka, když proběhlo první měření.

Žáci kývli.

„Super, tak proveďte 10 měření a zapisovatel je bude zapisovat na tabuli.“

První dvě měření trvala déle, ale pak se žáci do problému vžili a měření šlo rychleji. Po desátém měření je Zdeňka začala vyhodnocovat.

„Alice s Bobem se spojí a porovnají směry, do kterých měřili průměty. Vyhodí ta měření, kde nemají stejnou orientaci měření,“ začíná Zdeňka vyškrtávat příslušná měření. „Uvědomte si, že tuhle informaci - horizontální a vertikální orientace měření - si mohou Alice s Bobem opravdu vyměnit veřejným kanálem - tím nic nevyzrazují. Zbudou jim měření, při kterých měli aparaturu natočenou stejně. Když má Alice elektron s kladným spinem, musí mít Bob nutně elektron se záporným spinem. A opačně. Ale kdo má jaké znaménko spinu v jednotlivých měřeních, si nebudou říkat veřejným kanálem - to jednoznačně vidí. Teď Alice přiřadí svým plusům jedničku, Bob přiradí jedničku svým mínusům. A mají oba stejný klíč, podle kterého mohou šifrovat. Když nebudou mít 10 měření, ale třeba 1000 nebo víc, tak je nemožné při zachycení zašifrované zprávy projít všechny možnosti a zkoušet najít jejich klíč,“ uzavírá Zdeňka.

Žáci informace chvíli vstřebávají, ale zdá se, že je vše jasné.

„Dobře, teď zapojíme odposlech,“ usmívá se Zdeňka a začíná organizovat další experiment. „Kromě Alice, Boba a dvou elektronů budeme potřebovat ještě i Evu, která se bude snažit odposlouchávat, a další elektron, který bude Eva posílat dál.“

Za chvíli je vše připraveno a experiment může začít.

Za chvíli už Alice začíná vysílat elektron. Alice určí náhodně orientaci, elektron si určí znaménko. Eva se rozhodla, že bude mít konstantní vertikální orientaci.

„Kdyby i Eva měnila orientaci s pravděpodobností 50 %, dopadl by experiment statisticky stejně,“ dodává Zdeňka po Evině volbě.

Od Evy se pak šíří elektron, který má v Evou vybrané vertikální ose stejné znaménko průmětu spinu, jako Eva naměřila, ale horizontální průmět má obě znaménka stejně pravděpodobná. Provést záznam měření bylo v tomto případě složitější, ale žáci to zvládli dobře. Dvě drobné korekce pak udělala Zdeňka na základě toho, jak musí celá struktura vysílání fungovat.

„Opět vyškrtáme ta měření, kdy orientace spinu není u Alice a Boba stejná. Ale díky zásahu Evy se nyní stane, že i když mají Alice a Bob stejnou orientaci aparatury, mohou naměřit i stejná znaménka. A to je možné jen díky zásahu zvenčí - díky odposlechu Evy. Takže Alice i Bob o odposlechu vědí.“

„Ale jak poznají Alice a Bob, že mají různé znaménko spinu, když si vyměňují veřejným telefonem pouze orientace?“ zeptal se kdosi.

„Dobrá otázka,“ chválí Zdeňka. „Udělají to tak, že si nahlásí například každé čtvrté měření, protože právě čtvrtina měření by měla být znehodnocena zásahem Evy. To tady u nás dopadne špatně, když jich máme tak málo, ale když bude těch dat výrazně více, statisticky prostě chybu odhalí. A v ten okamžik vědí, že jsou odposloucháváni.“

Po chvíli padne dotaz, zda se to používá někde v praxi.

„Tohle ne, nebo to alespoň nevím,“ odpovídá Zdeňka. „Ale v laboratorních podmínkách, zejména v Rakousku, takové a podobné experimenty dělají na dobré úrovni. Pokud ovšem využijeme podobný efekt pro fotony, můžeme přenášet šifrované zprávy třeba optickým vláknem,“ usmívá se Zdeňka a ukazuje polarizační filtry, které si před hodinou půjčila z kabinetu fyziky.

„Už nestihneme udělat experiment formou hry, ale naházet kostkou mi to můžete,“ říká a okamžitě píše na tabuli možné způsoby nastavení polarizačního filtru pro Alici i Boba.

„Jak je vidět,“ ukazuje na svůj nákres na tabuli, „využívá se toho, že orientace polarizačních filtrů Alice a Boba jsou navzájem na sebe kolmé. Ale přitom jak Alice, tak Bob mají své dvě vlastní orientace polarizačního filtru vzájemně natočené o 45 stupňů.“

Pro provedení experimentu, do kterého byla zapojena i záludnost přírody, a po následném rozmyšlení jeho důsledků je zřejmé, že získáváme principiálně stejný výsledek případ jako pro trojici Alice - Bob - Eva.

Na konci dává Zdeňka prostor pro případné dotazy. Zodpoví jeden či dva a další už nejsou. Proto seminář končí a děkuje za pozornost. I my děkujeme - a alespoň symbolickou kytičku předává za nás všechny Tomáš Ryska.

Průběh semináře zobrazují fotografie.

Autor fotografií:

Jaroslav Reichl

© Jaroslav Reichl, 23. 3. 2017